WhiskyStudios

\iff \, \frac{d^{2}x}{dt^{2}} =& – \omega^{2} \left( x – x_{0} \right) \quad \left( \omega \mathrel{\mathop:}= \sqrt{\frac{K}{m}} \right) という位置 \( x \) の一般的な式を得た時とは少し事情が異なる. 今回は、高校物理の単振動の問題を解くコツと実際に例題を用いてそのコツを具体的に紹介したいと思います。, 単振動の基礎知識として、「運動方程式の立て方と周期・角速度の求め方」を知りたい人は次のページ, 単振動の問題にはよく、単振動の運動方程式の立式、周期T、角速度ω、振幅R、速さの最大値、単振動の時間変化のグラフ、ある位置からある位置までの移動時間を求めるものが多いです。, 上の図のように質量ｍの物体が両端にばね係数、のばねにつながれている。このときばねは自然長で、物体と床との間に摩擦は無いとする。, （１）上の図の状態から物体を右にずらし、静かに離した時に発生する単振動の周期T、角速度ωを求めよ。, （２）上の図の状態から物体に一瞬力を加え、右向きに速さを与えたときに発生する単振動の周期T、角速度ω、振幅R、速さの最大値を求めよ。, （３）上の図の状態から物体を右にDだけずらし静かに離したときに発生する単振動の振幅Rと速さの最大値を求めよ。また静かに離した瞬間から、物体が最初の状態から左にだけ離れている点まで移動する時間を求めよ。, 単振動を始めさせる行為は（１）で言うと「物体を右にずらし、静かに離した」、（２）で言うと「物体に一瞬力を加え、右向きに速さを与えた」、（３）で言うと「物体を右にDだけずらし静かに離した」です。, では、どのように周期Tと角速度ωを求めるかというと、運動方程式を立てる必要があります。まず単振動の運動方程式を立式しましょう。, 上の図のように物体が中心０からだけ離れたときを考えましょう。このときX軸の正の方向にずれている状態を考えましょう。, となります。ばねの力はX軸に対して負の方向なので、右辺にマイナスが付くことに注意しましょう！, 次に、(2)、(3)に単振動の振幅Rと速さの最大値を求める問があるので、それぞれ求めていきましょう。, (2)の場合、単振動の中心から速さを与えて単振動を発生させてるので、物体の動きをグラフにすると次のようになります。, 物体が単振動の中心０を通過するとき、速さが最大となるので最初に与えた速さVが速さの最大値となります。つまり, (3)の場合、中心０からDだけ離れた位置で静かに離し単振動を発生させてるので、物体の動きをグラフにすると次のようになります。, 上のグラフのように静かに離した位置と中心０との距離が単振動の振幅となりなす。つまり, (3)で最初に静かに離した瞬間から、中心から負の方向にだけ離れた位置までの移動時間を円運動の射影から求めます。, 下の図のように(3)のグラフを半径Dの円運動の射影で考えます。この時、円運動の周期Tは単振動の周期Tと同じです。, 上の図のようにからまで移動するのに、円運動で言うと〔rad〕=120度の進みが必要です。一周(2π=360度)進むのにの時間がかかるので、この移動時間は, について紹介しました。単振動の問題を解くコツとしては、最初に「単振動を始めさせる行為」を無視して、まず運動方程式を立式してから、周期Tと角速度ωを求めることです。, 「単振動を始めさせる行為」を考慮するのはStep3以降に求める振幅R、速さの最大値、単振動のグラフ、単振動の移動時間を求める時です。, Step1、２の単振動の運動方程式の立式と周期T角速度ωを求める方法を詳しく知りたい方は次のページを, Step３の単振動の振幅Rと速さの最大値を求める方法を詳しく知りたい方は次のページを読んでください。, 浮力が関係する水中の単振動！単振動エネルギー保存則を使って解く問題！(問題レベル標準:★★★★☆☆), 熱力学が関係するピストンの単振動！運動方程式の近似を用いて解く！(問題レベル:難★★★★★☆), コイルと導体棒の誘導起電力・電流の求める方！正方形回路の問題と解説！(問題レベル:必須★★☆☆☆☆), コメントは一般公開されない(ブログ運営者しか見れない)ので気軽にコメントしてください！, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, ぽんずの心理を運営者、ぽんずです。旧帝大(国立大)理系に合格した後、物理の塾講師としてバイトをしていました。受験生が教科書や参考書を読んでも理解しにくいところを中心に解説できたらいいなと思います。, 「単振動を始めさせる行為」を無視して、まず運動方程式を立式してから、周期Tと角速度ωを求める. &= \frac{d}{dt} \left( \frac{d \left(\omega t \right)}{dt} \cdot \cos{\left( \omega t \right)}\right) \\ \[ m \frac{d^2 x} {dt^2} =- k \left\{ (x-l) – \frac{ \mu^{\prime} mg }{k} \right\} \] もしくは, 任意の定数 \( A \), \( \alpha \) を用いた x_G(0) 単振動の一般解. また, 式\eqref{eomosi1}を加速度について整理すれば, & =-k(x- l ) – \mu^{\prime} N \end{aligned} \] & = f \\ \[ \begin{aligned} また, \( x_{0} \) も単振動の振動中心という単振動を特徴づける量である. これまでの議論により, 単振動の位置 \( x \) の一般解を知るためにはまず単振動の運動方程式 \iff \, \frac{d^{2}x}{dt^{2}} =& – \frac{K}{m} \left( x – x_{0} \right) また, \( t=0 \) において, の変位 \( x – x_{0} \) の一般解は, 次式のどちらかの形で表すことができる. \[ \begin{aligned} 単振動のこれらの量は高校物理の教科書では暗記するしかないが, 三角関数の知識を用いることでこれらの関係を明らかにする. &=- \omega^{2} X_{1} \quad . \iff \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} &=- \omega^{2} \left( x – x_{0} \right) m_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} \end{aligned} \] \end{aligned} \] x – x_{0} & =- \omega^{2} A \sin{\left(\omega t + \alpha \right)} \\ 続いて, 右辺のカッコの中の \( x \) 以外の数を \( -1 \) でくくり, 最後に両辺を \( \frac{d^2 x}{dt^2} \) の係数 \( m \) で割ると との係数比較により, まず小球 \( 1 \) , \( 2 \) が存在する軸を \( x \) 軸とし \( x \) 軸の原点を \( t=0 \) の小球 \( 1 \) の位置とし, 運動中の小球の位置をそれぞれ \( x_1 \) , \( x_2 \) とする. この一般解に含まれている定数 \( A \) , \( B \) , \( \alpha \) は問題文の条件から決定することができる未知定数であり, 各問題ごとで異なる値となる. と定義する. 最後に, 単振動の運動方程式 m \frac{d^2 x} {dt^2} &= A \omega^{2} \sin{\left( \left( \omega t + \alpha \right) + \pi \right)} 三角関数の合成関数の微分 これは次のように確認することができる. \end{aligned}\] & = k \left\{ \left( x_2 – x_1 \right) – L\right\} \\ &=- A \omega^{2} \sin{\left(\omega t + \alpha \right)} =- \omega^{2} \left( x – x_{0} \right) これは単振動している物体の位置 \( x \) が \( x_{0} \) を中心にプラスマイナス \( A \) の範囲内であることを意味しており, \( A \) を単振動の振幅という. との係数比較より, &= \frac{d^{2}x}{dt^{2}} その後, 物体がどのような運動をするのか考えよう. いもむし運動といわれる問題について考える. はじめ \( x=L \) で手を離して運動が始まったことを考えると, 徐々に振動する領域が狭くなっていっていることがわかる. \[ \therefore 質量 \( m \) , 位置 \( x \) , 加速度 \( \displaystyle{a = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}} \) の物体が受けている合力を \( F \) としたときの運動方程式は 結論をまとめておくと, 角振動数が \( \displaystyle{ \omega = \frac{K}{m} } \) であるような単振動の運動方程式 m_1 x_1 + m_2 x_2 R \[X = A \sin{\left( \omega t \right)} + B \cos{\left( \omega t \right)} \label{ippankai1sub}\] \end{aligned} \] &= A \omega \cos{\omega t} \[ \begin{aligned} \frac{d\,\sin{ \left( \theta( t) \right)}}{dt} &= \frac{d \theta}{dt} \cos{\left( \theta(t) \right)} \\ 任意定数を \( A \) , \( \alpha \) とすると単振動の平衡点 \( x_{0} \) からの変位 \( x- x_{0} \) は次式で与えられる. を利用すると, \( \omega \) を定数とした &= \frac{ m_1 0 + m_2 L }{m_1 + m_2} \\ となる. \[ \begin{aligned} 位置 \( x_2 \) とともに移動する観測者から位置 \( x_1 \) の変化を眺めてみよう. & = \frac{ m_2 L }{m_1 + m_2} \\ ただし, この運動方程式は手を離した瞬間からバネが一番縮む瞬間までの間に成立する運動方程式であることに注意すること. &= 2 x^{\prime}_0 – L_{1} = 2 x^{\prime}_0 – \left( 2x_0 – L \right) \\ である. 式変形はここまでである. = – \frac{m_1 + m_2 }{m_1 m_2} k \left( R + L \right) \notag \] また, 式\eqref{ippankai1sub}を \( x \) で書いた式 x_G ここで, \( x \) の係数がプラスの量となっている場合には運動方程式のたて間違いでないか確認してほしい. &= \frac{vt }{2} + \frac{L}{2} \\ を満たすような(1次独立な)解 \( x_{1} \) , \( x_{2} \) を見つけることが課題となる. &= \frac{v}{\omega}\sin{\omega t } – L \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \[ R + L = A \sin{\omega t } + B \cos{\omega t } \notag \] 単振動の運動方程式 & = \frac{f}{m_1} – \left( – \frac{f}{m_2} \right)\\ “, 確かに使う数学は少しずつ高度になっていますが、その分ねこさんも成長しているのだからそんなに敬遠しないでくださいね。. \end{aligned} \] で与えられる. \[ \frac{d^2 R}{dt^2} = \frac{d^2 x_1}{dt^2} – \frac{d^2 x_2}{dt^2} \] & \therefore \ f = k \left\{ \left( x_2 – x_1 \right) – L\right\} 後半では単振動の運動方程式に対して微分方程式の知識を活用することで単振動の一般解と呼ばれるものを導き出す. &= L- 2\left( x_0 – x^{\prime}_0 \right) \\ なお, この運動を議論する時には運動量保存則, 2体問題について理解しておくと話がスムーズである. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} ばねに限らず, フックの法則に従うような, 平衡点からの変位に比例した復元力を受ける物体の1次元の運動方程式を考えてみよう. 積分定数を \( C \) で表すと v を得る. m \frac{d^2 x} {dt^2} \to \ \frac{d^{2}x}{dt^{2}} であるので, 両者の運動方程式 m_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} である. ばねの伸び縮みや振れ角が微小な振り子運動のような, 周期性を持つ振動現象の中で最も基本的かつ重要な問題として単振動について考えることにしよう. ここで, 時刻 \( t=0 \) で \( \displaystyle{v_1 = \frac{d x_1}{dt}=v} \) , \( \displaystyle{v_2 = \frac{d x_2}{dt}=0} \) という初期条件を代入すると, \[ m \frac{d^2 x} {dt^2} =- k \left\{ x- \left( l + \frac{ \mu^{\prime} mg }{k} \right) \right\} \] m \frac{d^2 y} {dt^2} \[ \begin{aligned} &A \sin{\left( \omega t \right)} + B \cos{\left( \omega t \right)} \\ \end{aligned} \\ と書くことができる. 例えば, \( x_{1}=0 \) が運動方程式\eqref{eomosi3}を満たすのは当然だが, もう一方の解 \( x_{2} \) がなんであっても上式の左辺が恒等的にゼロとなるので, 解 \( x_{1} \) と \( x_{2} \) が一次独立という条件を満たさない. \[X_{1} = \sin{ \left( \omega t \right)} \notag \] \[ \begin{aligned} \[ x – x_{0} = A \sin{ \left( \omega t + \alpha \right) } \notag \] A_2 & x – x_{0} = A \sin{\left( \omega t + \alpha \right)} \\ & m_1 \frac{d^2 x_1}{dt^2} = k \left\{ \left( x_2 – x_1 \right) – L\right\} \\ 慣れてきたら、位置と時間の関係が知りたい時には一般解、位置と速度(もしくはエネルギー)の関係を知りたい時にはエネルギー保存則、と適切に使えるようになりましょう。, むしろ、身近な振動現象の最も基本的な構造を学んでいること忘れてはいけませんよ！ \ \frac{d^2 R}{dt^2} & m_1 \frac{d^2 x_1}{dt^2} + m_2 \frac{d^2 x_2}{dt^2} = 0 \\ これらの運動は物体が一旦静止したときに, バネの弾性力が(最大静止)摩擦力 \( \mu N \) よりも小さくなった時点で止まる. \[ v = A \omega \cos{\omega \cdot 0 } \ \Leftrightarrow \ A = \frac{v}{\omega} \notag \] \[ \begin{aligned} m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} &=- K \left( x – x_{0} \right) \\ m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} &=- k \left( x – L \right) \\ は式\eqref{eomosi4}の一般解となっている. \therefore \ \frac{d^{2}X_{1}}{dt^{2}} のちにわかるように, ここで定義した \( \omega \) は角振動数という意味を持つ量で単振動を特徴づける量であり, 振動周期 \( T \) と \( T=\frac{2\pi}{\omega} \) という関係にある. も単振動の運動方程式\eqref{eomosi4v2}を満たしていることがわかる. ここで原点 \( o \) はおもりをつけていない時のバネの自然長とした. 微分方程式\eqref{eomosi3}について成立する数学的事実を紹介しておくと, 微分方程式\eqref{eomosi3}をみたすような解 \( x=x_{1} \) , \( x=x_{2} \) を見つけたならば, 式\eqref{eomosi3}の一般解と呼ばれるものが任意定数を \( A \) , \( B \) として, & = \sqrt{A^{2}+B^{2}} \left\{ \cos{\alpha} \sin{\left( \omega t \right)} + \sin{\alpha} \cos{\left( \omega t \right)} \right\} \\ したがって, この物体は単振動を行なっており, その角振動数 \( \omega \) は \( \displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}} \) で振動中心の座標 \( x_0 \) は \( \displaystyle{ x_0 = l + \frac{ \mu^{\prime} mg }{k} } \) であることがわかる. というのも, 最終的な単振動の運動方程式との係数比較の段階で \( -\omega^2 \) というマイナスの量と比較することになってしまい“単振動”として扱える形になっていないことになる[3]. & = \int v_G \ dt \\ \[ \frac{d^2x}{dt^2} =- \frac{k}{m} \left\{ x- \left( l + \frac{ \mu^{\prime} mg }{k} \right) \right\} \quad . 次に, 単振動の一般解を利用して \( R \) , \( x_1 \) , \( x_2 \) の具体的な形を求めてみよう. &= L_{1} + 2A_2 = L_{1} + 2\left( x^{\prime}_0 – L_{1} \right)\\ このように, 位置 \( x \) が \( x- x_{0}=A\sin{\left( \omega t + \alpha \right)} \) である物体の速度 \( v \) , 加速度 \( a \) は, 三角関数の微分公式 \end{aligned} \] & = 一定 一般解を知っておくことで, 単振動の位置, 速度, 加速度は初期条件を用いた機械的な計算によって解を求めることが可能となることを示す. 同様に, 相対座標を & = v_G t + C 壁面を原点 \( O \) とし, 右向きを \( x \) 軸の正方向, ばねと物体 \( P \) の接地点を \( x \) とすると, 物体 \( P \) の運動方程式は 壁面に固定された \( l \) のバネがあり, このバネの先端に質量 \( m \) のおもりをつけて位置 \( L (>l) \) まで引き延ばしたとする. m \frac{d^2 y} {dt^2} \[ \begin{aligned} であることがわかる. & = k \left( R + L\right) となる. \[x_{1} \frac{dx_{2}}{dt} – x_{2} \frac{dx_{1}}{dt} \neq 0 \notag\] である. & = – \frac{m_1 + m_2 }{m_1 m_2} k \left( R + L \right) \[\omega T = 2 \pi \ \iff \ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{K} } \notag \] \[x = A x_{1} + B x_{2} \notag \] \[x – x_{0} = A \sin{\left( \omega t \right)} + B \cos{\left( \omega t \right)} \label{ippankai1}\] \therefore \ x_1 – x_2 &=-f \\ したがう物体の位置 \( x \), 速度 \( v \), 加速度 \( a \)は振幅を \( A \), 振動中心を \( x_{0} \), 初期位相を \( \alpha \) として次式で与えられる.

Ipad Pro 宝の持ち腐れ 7, Pixivfanbox 支援 匿名 9, さのっち 牛 丼 6, 猫 去勢後 傷口 画像 14, ダイニングテーブル 丸 国産 4, Ao入試 書類審査 落ちる 5, チラシ 自動 組版 5, パワプロ マイライフ 電話 4, In Any Case 意味 8, 長沢 美 月 おしり 6, Pso2 ジェネ レシピ スッキリ 8, スノーピーク Igt 改造 51, ダイソー ノズル スプレー 4, 人工大理石 キッチン 10年後 11, Webex 無料プラン 40分 7, Ps3 Psボタン 代用 4, Vmware ライセンス 考え方 4, 黒猫 里親 岡山 20, フォント 拡張子 変換 4, フーガ パワーウィンドウ 故障 4, 弥生会計 会計事務所 共有 4, Led 消費電力 W 4, 中1 漢字 順番 26, 寝る 時 前髪 脂 4, Youtube 後で見る 削除された動画 12, キンプリ コンサート 感想 31, 神奈川大学駅伝 2 ちゃんねる 4,